如题:
首先,需要解释一下,数学中,出现指数的指数时,计算顺序:指数越高越优先。例如:
先计算3^2=9,再计算4^9=262144。
Ok,回到正题。
一个经常被提到的解答方法是这样的:
令
那么,无穷再加一层,还是无穷,等于原来的数(∞+1=∞),得
“瞪眼法”,立得x=2和x=4。
一个表达式,怎么会有两个解呢?问题在哪儿?而且一个无穷嵌套的根号二次方,收敛吗?不会越来越大么?
以下是完整解答。
考虑如下数列:
那么:
原问题就转化为一个数列极限的问题。
要考察一个数列的极限,一般分两步:
第一,确定极限是否存在;第二,计算极限。而第一步通常包括两小步,“单调性+有界性”:
首先,数列的有界性:
显然,a0,a1,a2,等等都小于2,假设对an-1,有an-1<2,那么
数学归纳法,可知an<2恒成立,同理,用类似的数学归纳法,可知an≥1。于是
数列an有界。
第二,数列的单调性:作图:
知
于是
单调性成立。数列an单调递增。
综上,an单调递增有极限,设极限为x。根据递推关系:
两边取极限,得
作图:
得x=2或x=4。又1≤x≤2,知x=2。(虽然计算式一样,出发点不一样。一个是基于数列的极限,另一个则是基于“无穷+1=无穷”)
完毕。
留一个小问题:
当a处于什么范围的时候,上式左边等于一个有限值?这个值是多少呢?
后续阅读:
根号二的无限根号二次方,到底等于多少?后续:从一个方程出发
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